기하 비선형성

기하 비선형성 개요

기하 비선형성 개요

표준 선형 해석에서는 “소변위”라는 핵심 가정을 합니다. 이를 통해 강성 행렬 \([K]\) 을 상수로 가정할 수 있습니다. 지배 방정식은 단순한 선형식입니다.

비선형 해석에서는 이 가정이 성립하지 않습니다. 강성 자체가 변위의 함수 [K(u)] 가 됩니다. 힘과 변위의 관계는 더 이상 직선이 아닙니다. 해석에서는 이 가정이 성립하지 않습니다. 강성 자체가 변위의 함수 \([K(u)]\) 가 됩니다. 힘과 변위의 관계는 더 이상 직선이 아닙니다.

이 비선형성은 주로 두 가지 현상으로 인해 발생합니다.

대변위와 대회전

구조물이 크게 이동하거나 회전하는 경우이며, 재료 자체는 많이 늘어나지 않더라도(즉, 변형률이 작더라도) 발생합니다. 대표적인 예가 낚싯대나 얇은 벽 구조물입니다. 부품의 변형된 새 위치는 하중에 저항하는 방식을 바꿉니다. 이 효과는 응력 강성화(기타 줄처럼 인장 하중이 구조물의 횡방향 강성을 높이는 현상)의 원인이기도 합니다.

대변형률

재료 자체가 크게 늘어나거나 변형되는 경우로, 금속 성형이나 고무 부품 등이 해당합니다. 변형률의 정의 자체를 이러한 큰 변화를 반영하도록 갱신해야 합니다.

수학적 설명

기하학적 비선형의 수학적 근거는 변형률을 어떻게 정의하고 평형 방정식을 어떻게 세우는가에 있습니다.

비선형 변형률-변위 관계

선형 해석에서는 변위 기울기의 1차(선형) 항만 포함하는 공학 변형률 텐서를 사용합니다.

기하학적 비선형 문제에서는 그린-라그랑주 변형률 텐서 \((E)\)와 같은 더 복잡한 정의를 사용해야 합니다. 이 텐서는 변위 기울기의 고차(이차) 항을 포함하며, 이 항이 비선형 효과를 담습니다.

3차원 그린-라그랑주 변형률 텐서는 다음과 같이 정의됩니다.

하나씩 살펴보겠습니다.

• \(u_i, u_j, u_k\)는 변위 성분입니다(\(x, y, z\) 방향).
• \(X_i, X_j\)는 변형 전 원래 위치의 좌표입니다.
• \(\underbrace{ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} \right) }_{\text{Linear Part}}\) : 익숙한 선형 공학 변형률입니다.
• \(\underbrace{ \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{3} \frac{\partial u_k}{\partial X_i} \frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right) }_{\text{Nonlinear Part}}\): 큰 변위와 회전을 반영하는 이차 항입니다.

변형률 정의 \({E}\)가 이제 변위 \({u}\)의 비선형(이차) 함수이므로, 그 결과로 얻어지는 강성 행렬도 \({u}\)의 함수가 됩니다.

비선형 평형 방정식

강성이 일정하지 않으므로 \([K]{u} = {F}\)를 한 번에 풀 수 없습니다. 문제는 반복적으로 풀어야 하며, 일반적으로 증분 하중-스텝 방법(뉴턴-랩슨 방법 등)을 사용합니다.

먼저 내력 \({F_{int}}\)와 외력 \({F_{ext}}\)가 균형을 이뤄야 한다는 지배 평형 방정식에서 시작합니다.

여기서 \({R}\)는 잔차, 즉 불평형 힘 벡터입니다. 해석기의 목표는 이 잔차 벡터를 0으로 만드는 변위 \({u}\)를 찾는 것입니다.

반복 해법을 위해 현재 변위 상태에서 방정식을 선형화하며, 이때 접선 강성 행렬 \([K_T]\)가 도입됩니다. 이 행렬은 현재 점에서 하중-변위 곡선의 접선을 나타냅니다.

접선 강성 행렬 \([K_T]\)는 변위에 대한 내력 벡터의 미분입니다. 두 부분으로 구성됩니다.

• \([K_0]\)는 표준 재료 강성 행렬로, 선형 해석에서 쓰는 것과 같습니다. 재료 물성(예: 영률)과 요소 형상에 의존합니다.
• \([K_G(u, \sigma)]\)는 기하학적 강성 행렬로, '초기 응력' 또는 '미분' 강성 행렬이라고도 합니다. 이 행렬이 기하학적 비선형을 직접 반영합니다. 현재 변위 상태 \({u}\)와 요소의 응력 상태 \({\sigma}\)에 의존하며, 응력 강성화와 같은 효과를 담는 항입니다.

실제 유한요소 해석에서는 각 하중 스텝마다 다음을 수행합니다.

• 외력 \({F_{ext}}\)의 증분을 가합니다.
• 현재 상태를 기준으로 접선 강성 \([K_T]\)를 계산합니다.
• 증분 변위 \({\Delta u}\)에 대해 풉니다.
• 총 변위를 갱신합니다: \({u}_{new} = {u}_{old} + {\Delta u}\).
• 새로운 내력 \({F_{int}}\)와 잔차 \({R}\)를 계산합니다.
• \({R}\)이 0에 충분히 가깝지 않으면 해가 수렴할 때까지 2~5단계를 반복합니다.

전체 라그랑주 대 갱신 라그랑주 정식화

마지막으로 이 방정식을 적용하는 두 가지 기본 체계가 있습니다.

• 전체 라그랑주(TL): 모든 계산을 변형 전 원래 형상으로 되돌려 수행합니다. 그린-라그랑주 변형률과 대응하는 제2 피올라-키르히호프 응력 텐서를 사용합니다. 변위는 크지만 변형률이 비교적 작은 문제(예: 유연한 보)에 흔히 씁니다.
• 갱신 라그랑주(UL): 마지막으로 알려진 평형 형상을 기준으로 계산합니다. 수렴한 하중 스텝마다 좌표계와 강성 행렬을 갱신합니다. 보통 코시('진') 응력을 사용하며, 금속 성형처럼 변형률이 매우 큰 문제에 더 적합합니다.