幾何学的非線形性

幾何学的非線形性について

有限要素法(FEM)では、構造物の剛性が変形に伴って大きく変化するときに幾何学的非線形性が生じます。これは、変位、回転、またはひずみが十分に大きく、部品の形状が変化し、その結果として荷重を支える挙動に影響するために起こります。

標準的な線形解析では、「微小変位」という重要な仮定を置きます。これにより、剛性マトリクス \([K]\) を一定と仮定できます。支配方程式は、単純な線形の式です:

非線形 解析 では、この仮定は成り立ちません。剛性自体が変位の関数 \([K(u)]\) になります。力と変位の関係は、もはや直線ではありません。

この非線形性は、主に2つの現象によって引き起こされます:

大変位と大回転

これは、材料自体があまり伸びていない(すなわち、ひずみが小さい)にもかかわらず、構造物が大きく移動または回転する場合です。古典的な例は釣り竿や薄肉構造物です。変形後の新しい位置が荷重への抵抗の仕方を変えます。この効果は応力剛性化の原因にもなり、引張荷重(ギターの弦など)が構造物の横方向の剛性を高めます。

大ひずみ

これは、金属成形やゴム部品のように、材料自体が大きく伸びたり変形したりする場合に生じます。ひずみの定義そのものを、これらの大きな変化を考慮したものに更新する必要があります。

数学的な説明

幾何学的非線形性の数学的な根拠は、ひずみの定義と平衡方程式の定式化の方法にあります。

非線形のひずみ-変位関係

線形解析では、工学ひずみテンソルを使用します。これは変位勾配の1次(線形)項のみを含みます。

幾何学的非線形性では、Green-Lagrange ひずみテンソル \((E)\) など、より複雑な定義を使用する必要があります。このテンソルは変位勾配の高次(2次)項を含み、非線形効果を捉えます。

3D の Green-Lagrange ひずみテンソルは次のように定義されます:

これを分解して見ていきましょう:

• \(u_i, u_j, u_k\) は変位成分です( \(x, y, z\) 方向)。
• \(X_i, X_j\) は元の非変形の位置における座標です。
• \(\underbrace{ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial u_j}{\partial X_i} \right) }_{\text{Linear Part}}\) : これはよく知られた線形の工学ひずみです。
• \(\underbrace{ \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{3} \frac{\partial u_k}{\partial X_i} \frac{\partial u_k}{\partial X_j} \right) }_{\text{Nonlinear Part}}\): これらは大変位と大回転を考慮する2次の項です。

ひずみの定義 \({E}\) は変位 \({u}\) の非線形(2次)関数になったため、得られる剛性マトリクスも \({u}\) の関数になります。

非線形の平衡方程式

剛性が一定でないため、 \([K]{u} = {F}\) を1ステップで解くことはできません。代わりに、通常は増分荷重ステップ法(Newton-Raphson 法など)を用いて反復的に解く必要があります。

まず、内力 \({F_{int}}\) が外力 \({F_{ext}}\) と釣り合うことを表す支配平衡方程式から始めます:

ここで、 \({R}\) は残差(アンバランス)力ベクトルです。ソルバーの目的は、この残差ベクトルをゼロにする変位 \({u}\) を見つけることです。

これを反復的に解くために、現在の変位状態で方程式を線形化します。これにより、接線剛性マトリクス \([K_T]\) が導入されます。このマトリクスは、現在の点における力-変位曲線の接線を表します。

接線剛性マトリクス \([K_T]\) は、内力ベクトルの変位に関する導関数です。これは2つの部分で構成されます:

• \([K_0]\) は標準的な材料剛性マトリクスです(線形解析で使用するものと同じ)。材料特性(ヤング率など)と要素の形状に依存します。
• \([K_G(u, \sigma)]\) は幾何剛性マトリクス(「初期応力」剛性マトリクスまたは「微分」剛性マトリクスとも呼ばれます)です。このマトリクスは幾何学的非線形性を明示的に考慮します。現在の変位状態 \({u}\) と要素内の結果としての応力状態 \({\sigma}\) に依存します。これが応力剛性化などの効果を捉える項です。

実際の FEM 求解では、ソルバーは各荷重ステップに対して以下を行います:

• 外力 \({F_{ext}}\) の増分を適用します。
• 現在の状態に基づいて接線剛性 \([K_T]\) を計算します。
• 増分変位 \({\Delta u}\) について解きます。
• 全変位を更新します: \({u}_{new} = {u}_{old} + {\Delta u}\) 。
• 新しい内力 \({F_{int}}\) と残差 \({R}\) を計算します。
• \({R}\) がゼロに近くない場合、解が収束するまでステップ2～5を繰り返します。

全ラグランジュ法と更新ラグランジュ法

最後に、これらの方程式を適用するための主要な枠組みが2つあります:

• 全ラグランジュ法(TL): すべての計算は元の非変形の配置を基準に行います。Green-Lagrange ひずみと対応する第2 Piola-Kirchhoff 応力テンソルを使用します。これは大変位でひずみが比較的小さい問題(柔軟なはりなど)で一般的です。
• 更新ラグランジュ法(UL): 計算は最後に既知の平衡配置を基準に行います。座標系と剛性マトリクスは、各荷重ステップの収束後に更新されます。この枠組みは通常 Cauchy 応力(「真」応力)を使用し、金属成形のように非常に大きなひずみを伴う問題により適しています。